李炜同志与高俊科同志就“复利率的连续计算方法”在“数理统计与管理”上展开了讨论［1，2］。本文想就此问题谈谈个人的看法，以期引出明确而科学的认识。　　

§1.资金率生长公式

　　设初始起存本金为A0元，t时间后的资金总额(本息合计)为A(A0,t)。这是一个二元连续函数。根据对储蓄存款内涵的分析研究，我们认为A(A0,t)应满足如下的三个假设条件：
　　首先，起始不变原则：即要求

A(A0,0)=A0　　(1)

　　其次，倍本原则：存期相同时的资金总额与初始本金成正比，其比例系数仅是与存期t有关的函数，记为f(t)。亦即要求　

A(A0,t)=A0.f(t)　　(2)

　　第三，续存迭加原则：将起始本金A0、已存期t1的资金总额做为新本金，接续存t2时间后的新资金总额，应与原始本金A0、存期(t1+t2)时间的资金总额相等。即要求对任意的t1，t2皆有

A(A(A0,t1),t2)=A(A0,t1+t2)　　(3)

实际上，这第三条就是复利原则。
　　下面，我们来推导满足这三条假设的连续函数所具有的形式。
　　由(1)、(2)知

f(0)=1　　(4)

　　(2)代入(3)之左边得

A(A(A0,t1),t2)=A(A0.f(t1),t2)
=A0.f(t1).f(t2)(5)

　　(2)代入(3)之右边得

A(A0,t1+t2)=A0.f(t1+t2)　　(6)

　　(5)与(6)结合而得出

f(t1+t2)=f(t1).f(t2)　　(7)

　　记

f1≡f(1)　　(8)

　　由(7)可以进一步推出

f(t)=(f1)t　　(9)

A(A0，t)=A0(f1)t　　(10)

　　这只须使用函数的连续性，逐步对t为整数、分数、实数推证即可。上述属于生长函数之类，分别称为资金率生长函数和资金生长函数。

§2.单位时间利率之互换

　　我们回顾一下符号式的含意。A0为初始本金。A(A0，t)为存期t的资金总额。A(A0，t)-A0=A0(f(t)-1)为其存期t的利息。(A(A0，t)-A0)/A0=f(t)-1为存期t的利率。而(A(A0，1)-A0)/A0=f1-1≡r称为单位时间利率。其值为常数，随选择的单位时间不同而不同。分别可称为年利率，月利率，日利率，等等。请注意，这里的“率”一词是相对于本金的。
　　显然，利息的计算应与时间单位的选择无关，此即利率不变原理。由此可以推出不同时间单位的单位时间利率之间的换算关系。
　　比如：设年利率、月利率、日利率分别记为γy,γm,γd。显然，以年利率γy存期1年的资金总额，应等于以月利率γm存期12个月的资金总额，也应等于以日利率γd存期365天的资金总额。即

(1+γy)=(1+γm)12=(1+γd)365　　(11)

这就是利率不变原理。
　　从(11)可推出

γy=(1+γm)12-1=(1+γd)365-1　　(12)

γm=(1+γy)1/12-1=(1+γd)365/12-1　　(13)

γd=(1+γy)1/365-1=(1+γd)12/365-1　　(14)

　　在实际中，时间单位常常是看如何方便计算来决定的，往往与计息周期相同。

§3.资金率生长函数的两种表现形式

　　我们令　　

γ=f1-1　　(15)

代回到(9)就有

f(t)=(1+γ)t　　(16)

此即人们通常所说的“复利率计算公式”。
　　我们令

α=ln(f1), f1=eα　　(17)

(9)就变成

f(t)=eαt　　(18)

此即人们通常所说的“复利率连续计算公式”。
　　其实，它们是同一个公式。除了形式不同外，没有本质的区别。仅是“貌异神同”而已!那种从(16)出发再利用近似、求极限而推导(18)的作法［1］只不过是“画蛇添足”而已。其次，这里的“复利率”一词用语并不恰当，它们应称为“资金率”计算公式，即单位本金及其利息和的计算公式。
　　请注意，其间已蕴含有

α=ln(1+γ)　　(19)

和

γ=eα-1　　(20)

　　α与γ是数值与含意皆不相同的两个量。前者是资金率生长函数的瞬间生长系数，“系数”一词是相对于时间的。后者是单位时间利率，即单位本金单位时间的利息。
　　最后，我们重申：f(t)不是利率函数，而是资金率函数。换句话说，f(t)不是单位本金之增加函数，而是单位本金及其利息和的生长函数。

作者单位：黄秀清　王立新　　(中国新星石油公司北京计算中心　北京　100083)

参考文献

　［1］.李炜，1998，也谈复利率的连续计算方法，数理统计与管理，17(6)。
　［2］.高俊科，1998，关于复利率的连续计算方法，数理统计与管理，17(2)：33-34。

数理统计与管理1999年 第1期 No.1 1999

APPLICATION OF STATISTICS AND MANAGEMENT