摘要　通过对期权的标的资产(以股票为例)的价格行为过程进行分析，引入一种价格服从混合过程的新模式，改变了Black-Scholes期权定价模型的基本假设之一，推导出一种新的期权定价模型，获得了较理想的结果.

　　现代期权定价理论的最新革命始于1973年，美国芝加哥大学教授Fischer Black与Myron Scholes发表了“The Pricing of Option and Coporate Liabilities”一文，推导出基于不付红利股票的任何一种衍生证券的价格必须满足的微分方程，并成功地求解了该方程，本文引入股票价格行为服从混合过程，改变Black-Scholes方程的基本假设，从而推导出一个新的期权定价模型.

1　股票价格行为模式

　　股票价格一般都围绕一个期望变化率在一合理范围内作平滑波动，但也常出现与连续平滑波动完全不成比例的异常变化，其连续平滑波动可视为由经济中某些平常条件带来的正常变化，如：股票供求关系，发行股票企业的经营状况，国家的长期利率、税收政策等；而不连续变化即与连续平滑波动完全不成比例的异常变化则可视为由经济中的某些不寻常情况带来的不正常变化，如突发战争、一国政变、重大政治事件、人为投机等.
　　对于股票价格行为，人们通常假设其服从马尔科夫过程，如Black-Scholes期权定价模型中假设股票价格服从ITO过程，这一假设虽然强调了在将来任一特定时刻股价的概率分布仅取决于股票当前的价格这一性质，但它只描述了股价在时间与空间上以连续形式的变化，即由经济中某些平常条件带来的正常变化，而未反映出由经济中的不寻常情况带来的不正常变化，这些不正常变化往往引起股价大幅度的不连续跳跃.
　　一般地，人们常用以下三类概率模型来描述经济系统中各类变量的变化：
　　1) ITO过程　ITO是一个连续随机过程，描述了在时间与空间上变量以连续形式的变化. 若随机变量x服从ITO过程，则x的随机行为可由如下微分方程描述：

dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz(t)

其中，a(x,t)为单位时间内x的预期变化；b(x,t)为单位时间内x的扩散部分；z(t)为期望值为0，方差为1的维纳过程.

3　期权定价模型的推广

　　在以上的推理中，假设标的资产股票是无红利支付的，我们可以将以上分折扩展到基于支付连续红利收益的股票的欧式期权.
　　假设标的资产为以红利率q支付连续红利的股票，其股票价格S(t)依然服从混合过程(1)，考虑同样的证券组合G：
　　1: 期权,:股票,在Δt时间内，持有该证券组合的投资者获取资本利得ΔG,红利为，定义Δw是证券组合持有者在Δt内财富的变化.

　　因为红利的支付使得股票价格降低了等于红利的数量，所以支付连续红利率q使得股票价格的增长率比不支付红利时减少了q，从而一种价格为S支付连续红利率为q的股票的欧式期权与基于一种价格为Se-q(T-t)不支付红利的股票的相应的欧式期权有相同的价值(因为在这两种情况下股票价格的最终值相同). 所以，依上文同样的求解步骤.

　　一些其它的期权标的资产可以认为与支付连续红利收益率的股票类似，特别是：股票指数与支付连续红利的股票相似，其红利收益率是所有组成指数的股票的红利收益率的平均值，故只要S等于指数值，q等于指数的红利收益率，方程(20)即为标的资产为股票指数的欧式期权所满足的微分方程，同样，外币和期货价格与支付连续红利的股票亦相似：其红利收益率分别等于外国无风险利率和国内无风险利率，只要定义S分别为即期汇率和期货价格F，q分别为外国无风险利率和国内无风险利率，方程(19)即为标的资产为外币或期货的欧式期权所满足的微分方程.
　　因此，对基于支付连续红利股票期权的定价模型可以推广到基于其它资产的期权的定价模型.

4　结论

　　通过改变对股票价格行为模式的假设，即在股票价格几何布朗运动之上加上各种跳跃，推导出不同于Black-Scholes微分方程的一个期权定价模型. 很容易发现，当λ=0时，(7)式即为Black-Scholes微分方程，这表明Black-scholes微分方程是(7)式的特例. 只是(7)式和Black-Scholes微分方程一样，依旧假设利率和股票收益的方差为常数，但实际生活中并非如此，若能推导出一个随机利率，随机波动率且含跳跃的期权定价模型，则是更为理想了.